浮点数的二进制表示
浮点数将二进制数位分成3个部分，分别为s符号位，exp指数部分和frac小数部分。而浮点数有两种不同的精度类型，32位的float和64位的double。两者的符号位都只占用一位，而double型浮点数的指数部分和小数部分比float型长，所以double型能表示更高精度的浮点数，相应的也占用了更多内存空间。
浮点数真实值可以用如下公式表示：
(-1)s⨉M⨉2E
其中s表示符号位，E是经过exp指数部分计算得到，M是经过frac小数部分计算得到。而浮点数存在两种模式：Normalized和Denormalized，前者表示距离0比较远的数，而后者表示距离0比较近的数。这两种模式中E和M的计算方式有所不同。
但exp不全为0且不全为1时为Normalized模式，在Normalized模式下：
M=1.frac(小数点左边隐含了1)
E=exp-Bias(Bias=2k-1-1, k=exp的位数)
而exp全为0时为Denormalized模式，在Denormalized模式下：
M=0.frac(小数点左边隐含了0)
E=1-Bias(Bias=2k-1-1, k=exp的位数)
这里采用Bias来计算E的原因是，使用Bias的表示方法可以把除符号位的浮点数当作unsigned直接比较大小。比如补码的最大值是0111，最小值是1111，占用浮点数中间数位时无法当作unsigned比较大小。而Denormalized模式下E的映射不采用与Normalized模式一致的0-Bias，而采用1-Bias的原因是，这样可以使得Denormalized和Normalized临界处数值的变化是连续的。通过把浮点数的所有值标记在数轴上的位置，可以看出这一点。
同时，可以观察到Denormalized模式的浮点数是均匀地分布在0周围，而Normalized模式的浮点数不均匀地向±inf扩张。
浮点数的特殊值
浮点数有±0/±inf./NaN等5个特殊值，用来表示运算中比如溢出等的特殊情况。
±0: 与整型相同，exp和frac全为0时浮点数的真实值也为0。当时符号位可以取值0或1，这便导致浮点数存在两个不同的0，即±0。
±inf: 当exp全为1，frac全为0时，表示无穷大，根据符号位不同分为±inf.。与整型用取模来处理溢出不同，浮点数统一使用±inf.来表示溢出。另外除0，比如3.0/0.0, -1.5/0.0等表达式也会得到±inf.。
NaN: 当exp全为1且frac不为0时表示非数字(Not A Number)，即NaN。如sqrt(-1), inf. + 1.0, **inf. + -inf.**等非法表达式就会产生NaN的结果。
浮点数表示的范围
由上面数轴图可知，浮点数可以表示的值不是连续的，而是一个个离散的点。Denormalized模式表示靠近0的值，而Normalized模式表示远离0的值。而且Denormalized模式到Normalized模式的过渡是平滑的。
下面以一个5位（无符号位，3位exp指数部分，2位frac小数部分）浮点数为例计算该浮点数的范围。
(Bias=23-1-1=3, Denormalized模式下E=1-Bias=-2)
- Denormalized最小值：000 01, 0.012⨉2-2=1/4⨉1/4=1/16
- Denormalized最大值：000 11, 0.112⨉2-2=3/4⨉1/4=3/16
- Normalized最小值：001 00, 1.002⨉21-3=(1+0)⨉1/4=4/16
- Normalized最大值：110 11, 1.112⨉26-3=(1+3/4)⨉8=14
- 浮点数最小值：0
- 浮点数最大值：14
浮点数的运算
由于浮点数能表示的数值是一个个离散的点，所以无法精确表示所有的计算结果。而考虑浮点数运算的思路是，先进行精确计算，然后进行取整。取整分为向下(-∞, round down)，向上(+∞, round up)，和向偶数(round to even)三种方式，默认采用向偶数取整的方式。向偶数取整基于统计学中数字均匀分布的假设，所以向偶数取整发生的概率为50%。向偶数取整只发生在尾数正好处于中间的位置(half way)，比如十进制下1.5向偶数取整位2.0，其余情况则作四舍五入考虑。
而在二进制下，偶数对应是最后有效位(guard bit)为0，尾数的中间位置(half way)对应只有尾数第一位为1其余为0，即100…
对于加减乘除运算，先考虑精确的结果，然后用向偶数取整到可表示的精度范围。如果无法表示运算结果，则使用特殊值(±inf./NaN)。